数据结构与算法之二分查找

二分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分, 取a[n/2]与x做比较,如果x=a[n/2], 则找到x, 算法中止; 如果x < a[n/2], 则只要在数组a的左半部分继续搜索x, 如果x>a[n/2], 则只要在数组a的右半部搜索x

x的平方根

实现int sqrt(int x)函数, 计算并返回x的平方根, 其中x是非负整数.
由于返回类型是整数, 结果只保留整数的部分, 小数部分将被舍去

示例:

输入: 4
输出: 2

输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842...,
    由于返回类型是整数, 小数部分将被舍去

代码
Python3

def mySqrt(self, x):
  left, right, result = 0, x, -1

  while left <= right:
    mid = (left + right) // 2
    if mid * mid <= x:
      result = mid
      left = mid + 1
    else:
      right = mid - 1

  return result

JavaScript

def mySqrt(x) {
  let left = 0
  let right = x
  let result = -1

  while (left <= right) {
    let mid = Math.floor(left + right) / 2)
    if (mid * mid <= x) {
      result = mid
      left = mid + 1
    } else {
      right = mid - 1
    }
  }
  return result
}

寻找比目标字母大的最小字母

给你一个排序后的字符列表letters, 列表中只包含小写英文字母. 另给出一个目标字母target, 请你寻找在这一有序列表里比目标字母大的最小字母.

在比较时, 字母是依序循环出现的. 举个例子: 如果目标字母target = 'z'并且字符列表为letters = ['a', 'b'], 则答案返回’a’

提示:

  • letters长度范围在[2, 10000]区间内
  • letters 仅由小写字母组成,最少包含两个不同的字母
  • 目标字母target 是一个小写字母

示例:

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "a"
输出: "c"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "c"
输出: "f"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "d"
输出: "f"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "g"
输出: "j"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "j"
输出: "c"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "k"
输出: "c"

题解:

用二分查找来变更查找区间, 两种情况当target大于等于mid值改变左边界值, 反之改变改变区间右边界值, 如果遍历完都没有找到则输出第一个字符, 时间复杂度O(logn)

代码
Python3

def nextGreatestLetter(self, target):
  left = 0
  right = len(letters)

  while left < right:
    mid = (left + right) // 2
    if (letters[mid] <= target):
      left = mid + 1
    elif letters[mid] > target:
      right = mid

  return letters[left % (len(letters))]

JavaScript

funciton nextGreatestLetter = (letters, target) => {
  let left = 0
  let right = letters.length

  while(left < right) {
    let mid = Math.floor((left + right) / 2)
    if (letters[mid] <= target) {
      left = mid + 1
    } else if (letters[mid] > target) {
      right = mid
    }
  }
  return letters[left % (letters.length)]
}

有序数组中的单一元素

给定一个只包含整数的有序数组, 每个元素都会出现两次, 唯有一个数只会出现一次, 找出这个数.

**注意:**您的方案应该在 O(log n)时间复杂度和 O(1)空间复杂度中运行

示例:

输入: [1,1,2,3,3,4,4,8,8]
输出: 2

输入: [3,3,7,7,10,11,11]
输出: 10

题解:

题目要求我们使用O(logn)的时间复杂度, 想到二分查找.

代码
Python3

def singleNonDuplicate(self, nums):
  if len(nums) == 1: return nums[0]

  left, right = 0, len(nums) - 1

  while left <= right:
    mid = (left + right) // 2
    # 如果mid偶数
    if mid % 2 == 0 and mid + 1 < len(nums):
      # 并且mid和mid+1相等, 说明mid前面没有单一元素, 区间变为[mid+1, right]
      if nums[mid] == nums[mid + 1]:
        left = mid + 1
      else:
      # 如果mid和mid+1不相等, 说明mid前面有单一元素, 区间变为[left, mid - 1]
        right = mid - 1
    # mid为奇数
    elif mid % 2 != 0 and mid + 1 < len(nums):
      # 并且mid和mid+1相等, 说明mid前面有单一元素, 区间为[left, mid - 1]
      if nums[mid] == nums[mid + 1]:
        right = mid - 1
      else:
        left = mid + 1
    else:
      return nums[mid]

  return nums[left]

JavaScript

function singleNonDuplicate(nums) {
  if (nums.length === 0) return null

  let left = 0
  let right = nums.length - 1

  while (left <= right) {
    let mid = Math.floor(left + (right - left) / 2)
    if (nums[mid] === nums[mid - 1]) {
      if (mid % 2 === 0) {
        right = mid - 2
      } else {
        left = mid + 1
      }
    } else if (nums[mid] === nums[mid + 1]) {
      if (mid % 2 === 0) {
        left = mid + 2
      } else {
        right = mid - 1
      }
    } else {
      return nums[mid]
    }
  }
  return -1
}

第一个错误的版本

你是产品经理,目前正在带领一个团队开发新的产品。不幸的是,你的产品的最新版本没有通过质量检测。由于每个版本都是基于之前的版本开发的,所以错误的版本之后的所有版本都是错的。

假设你有 n 个版本 [1, 2, …, n],你想找出导致之后所有版本出错的第一个错误的版本。

你可以通过调用 bool isBadVersion(version) 接口来判断版本号 version 是否在单元测试中出错。实现一个函数来查找第一个错误的版本。你应该尽量减少对调用 API 的次数。

示例:

给定 n = 5,并且 version = 4 是第一个错误的版本。

调用 isBadVersion(3) -> false
调用 isBadVersion(5) -> true
调用 isBadVersion(4) -> true

所以,4 是第一个错误的版本

代码
Python3

def firstBadVersion(self, n):
  left, right = 1, n

  while left <= right:
    mid = (left + right) // 2
    if isBadVersion(mid):
      right = mid
    else:
      left = mid + 1
  return left

JavaScript

function firstBadVersion(n) {
  let left = 1
  let right = n

  while (left <= right) {
    let mid = (left + right) / 2

    if (isBadVersion(mid)) {
      right = mid
    } else {
      left = mid + 1
    }
  }
  return left
}

寻找旋转排序数组中的最小值

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转. 例如, 数组[0,1,2,4,5,6,7]可能变为[4,5,6,7,0,1,2]. 请找出其中最小的元素

提示:

  • 1 <= nums.length <= 5000
  • -5000 <= nums[i] <= 5000
  • nums中的所有整数都是唯一
  • nums原来是一个升序排序的数组, 但在预先未知的某个点上进行了旋转

示例:

输入:nums = [3,4,5,1,2]
输出:1

输入:nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出:0

输入:nums = [1]
输出:1

题解:

根据题目假设有这样一组递增的序列[2,3,4,5,6,7]经过旋转变为[6,7,2,3,4,5], 找出最小值, 我们可以用二分搜索, 按照区间来查找, 但由于是旋转的, 通常的二分法并无法解决该问题. 以该序列为例我们先找到中位数2, 然后判断2是否大于他的下一个数或者小于它上一个数, 比如2小于下一位3, 同时小于上一位7, 说明2的左侧右侧都是递增序列, 那么2就是最小数. 如果2小于它的上一位同时2大于它的下一位这种情况是不存在的.

代码
Python3

def findMin(self, nums):
  if len(nums) == 1: return nums[0]

  left = 0
  right = len(nums) - 1

  if nums[right] > nums[0]:
    return nums[0]

  while left <= right:
    mid = left + (right - left) // 2
    # 如果中间的数大于下一个数则进行了旋转, 旋转的最小值为mid+1
    if nums[mid] > nums[mid + 1]:
      return nums[mid + 1]
    # 如果中间的数小于上一个数直接返回mid
    if nums[mid] < nums[mid - 1]:
      return nums[mid]

    if nums[mid] > nums[0]:
      left = mid + 1
    else:
      right = mid - 1

JavaScript

function findMin(nums) {
  if (nums.length === 1) return nums[0]

  let left = 0
  let right = nums.length - 1

  // 如果最右边的数大于第一个数则nums是个递增的序列
  if (nums[right] > nums[0]) return nums[0]

  while (left <= right) {
    let mid = Math.floor(left + (right - left) / 2)

    // 如果中间的数大于下一个数, 一定是进行了旋转
    if (nums[mid] > nums[mid + 1]) {
      return nums[mid + 1]
    }

    // 如果中间的数小于上一个数, 一定进行了旋转
    if (nums[mid] < nums[mid - 1]) {
      return nums[mid]
    }

    if (nums[mid] > nums[0]) {
      left = mid + 1
    } else {
      right = mid - 1
    }
  }
}

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给定一个按照升序排列的整数数组nums, 和一个目标值target. 找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置

如果数组中不存在目标值target, 返回[-1, -1]

提示:

  • 0 <= nums.length <= 105
  • -109 <= nums[i] <= 109
  • nums是一个非递减数组
  • -109 <= target <= 109

示例:

输入:nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出:[3,4]

输入:nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出:[-1,-1]

输入:nums = [], target = 0
输出:[-1,-1]

代码

def searchRange(self, nums, target):
  left = 0
  right = len(nums)

  while left < right:
    mid = left + (right - left) // 2

    # 如果mid小于target, 说明区间在[mid + 1, right]
    if nums[mid] < target:
      left = mid + 1
    # 如果等于target, 区间为[mid - 1, mid + 1], 
    # 同时扩大搜索区间找到起始和终止索引
    elif nums[mid] == target:
      start = mid - 1
      end = mid + 1

      while start >= 0 and nums[start] == target:
        start -= 1

      while end < len(nums) and nums[end] == target:
        end += 1

      return [start + 1, end - 1]
    else:
      right = mid

  return [-1, -1]

JavaScript

function searchRange(nums, target) {
  let left = 0
  let right = nums.length

  while (left < right) {
    let mid = Math.floot(left + (right - left) / 2)

    if (nums[mid] < target) {
      left = mid + 1
    } else if (nums[mid] === target) {
      let start = mid - 1
      let end = mid + 1

      while (start >= 0 && nums[start] === target) {
        start -= 1
      }

      while (end < nums.length && nums[end] === target) {
        end += 1
      }

      return [start + 1, end - 1]
    } else {
      right = mid
    }
  }
  return [-1, -1]
}